鄧煜，詩人，數學家，老二次元
菲爾茲獎的通知郵件抵達時，普林斯頓大學數學博士、芝加哥大學數學系教授鄧煜正在看一本戀愛向小說。
關於獲獎人選的傳言此前已經流傳了一陣，他說自己「有點緊張」，收到結果「算是舒了一口氣」，就繼續看小說了。
「數學界的諾貝爾獎」，四年一度的菲爾茲獎只授予頒獎當年1月1日未滿40歲的數學家，既表彰已經完成的工作，也看重未來繼續打開新領域的可能。
7月23日，37歲的鄧煜與35歲的王虹成為首批斬獲該獎項的中國籍數學家。他們都曾在國內接受基礎數學教育，都是北京大學數學科學學院2007級的同學，實現了中國籍數學家在菲爾茲獎上的「零的突破」。
鄧煜與王虹的個人主頁
消息傳來后，人們驚訝地發現，兩人不僅求學經歷相似，還都是二次元愛好者，分別頂著熱門番劇《終將成為你》和《躍動青春》的頭像。這讓不少年輕人歡呼：找到我和菲爾茲獎得主的共同點了。
大家喜歡鄧煜的「活人感」，自發傳播他「只要你有一顆少女心，看什麼都是少女漫」的格言錄。他在詩社的簡介是「好詩歌、故事、小說、解謎、漫畫、圍棋、足球，以及一切美麗的謎物」，知乎主頁上寫著「願世界和平，願龍憐（《天才麻將少女》中的一對角色）結婚」，會認真討論PDE（偏微分方程），也髮長文解析同人CP。
鄧煜桌面上擺放的玩偶 / 圖源：西蒙斯基金會
在他知乎的108條回答中，有一條是他快29歲時對21歲的回望。2010年，已從北大轉入MIT的他，在一個學期內選了五六門數學課，同時讀三本書，花一周讀完85頁的論文，驗證每一個細節，尋找可能的錯誤；數學系休息室里有一張很舒服的長沙發，他晚上會睡在那裡，清晨再趁四下無人把被子抱回宿舍。他也會在刷完人人網后猛然覺得，自己懂的數學太少。
鄧煜回復知乎問題的答案
雖然鄧煜的履歷乍看是競賽出身一路開掛的數學精英模板，但他也曾險些轉身離開數學王國。好在，最終他總是為自己保留一點希望，「只要還有一個值得嘗試的方向或一個想繼續驗證的念頭，就比較容易維持前進的動力」。他在MIT的本科同學顏曉川記下了他的變化，十年前，鄧煜認真估算過自己的知識占整個數學世界的比重，「答案是1/38250」。
「現在呢？」「我想我肯定懂得更多了。」鄧煜說。
圍棋少年的數學路
鄧煜在深圳長大，小時候郊遊、爬山，父親會隨口給他出題。六年級時，他和父親一起尋找一個數列中的規律，兩人花了幾個小時才解出來。「最後，我們都非常高興。」他後來在個人介紹視頻中說，「這可能是我記得的、最早一次因為數學而感到興奮的時刻。」
差不多同一時期佔據他生活的，還有圍棋。他大約六歲開始學棋，初一參加全國定段賽，離職業棋手只差一點。圍棋和數學有相通之處，真正開始推導以前，首先要對問題本身形成認識，「都要觀察局面、找到突破口、尋找最合適的一手」。但圍棋是幾個小時內必須完成的現場競賽，數學研究則「更像長跑，你可以慢慢想，不必那麼著急」。
鄧煜大約六歲開始學棋
2006年，鄧煜獲得國際數學奧林匹克競賽金牌，次年保送北京大學數學科學學院。在北大最初兩年，他和同學一起刷題，周末去海淀圖書城淘數學教材，努力啃下艱深的《拓撲空間論》，陳天權的數學分析課為他建立基礎，大二以後，他跟隨劉和平學習調和分析，嘗試本科生科研，「雖然當時沒有做出結果，但這段訓練非常重要」。
2009年，鄧煜轉入麻省理工學院，在他的回憶里，那兩年差不多是學生生涯中最「intense」的一段。赴美前，他讀了陶哲軒關於非線性色散方程的著作，到了MIT后逐漸轉向PDE。後來，剛學了一些PDE的他便主動去找教授交流；聽過關於隨機性與Gibbs測度的報告后，定下研究題目，暑假寫成論文上傳到arXiv。得知這項工作或許能投一家不錯的期刊，他一有空就搜索期刊排名和影響因子，幻想有一天能在數學「四大刊」發表論文。
鄧煜
那是一種貧窮、熱忱又興緻勃勃的生活，他靠批改微積分作業掙到一點錢，因為下不起館子，常常吃最便宜的日式照燒雞肉飯，與朋友討論Polya計數定理或其他天馬行空的問題。他沿河散步，小路和草坪走過無數回，站在橋中央望見金色的晚霞和另一側天空的鉛灰色，想起「江上晴雲雜雨雲」的句子。
這種沿水行走的習慣延續了下來。從北大的未名湖、MIT旁的查爾斯河，到普林斯頓的運河，他喜歡把尚未解決的問題帶到水邊。人在自然中放鬆下來，他說，「也就更有可能產生一些真正好的想法。」
2011年，鄧煜進入普林斯頓大學讀博，師從Alexandru D. Ionescu。導師對證明細節近乎嚴苛，也對調和分析、流體方程、色散方程和廣義相對論等不同領域保持廣泛興趣。這兩種品位都留在了鄧煜身上：既願意進入技術最深處，也不甘心長久停留在一個狹窄方向。
2015年博士畢業后，鄧煜進入紐約大學柯朗研究所從事博士后研究。他在一家中餐館看見牆上寫著杜甫的詩：「或看翡翠蘭苕上，未掣鯨魚碧海中。」前者是精巧清麗的小景，後者指向雄渾宏大的境界。鄧煜忍不住反覆讀了幾遍，忽然覺得「這兩句就是在說我」，因而有些慚愧：自己或許已經能做出技術性強、細節精緻的成果，卻還沒有真正觸及足夠重大的問題。
鄧煜在知乎上回答的問題
真正明顯的焦慮發生在博士后的最後一兩年。
「大概在2017年、2018年，我在幾個方向之間來來回回，一時做不出讓自己滿意的結果。」他對一項工作的思想和技術本身比較滿意，但審稿人指出結論仍有一定局限性；其他方向做的一些工作雖然思路不錯，最終結果卻沒有達到最初希望的強度。
因此前發表的論文較為小眾，求職也不斷受挫，「相當長時間拿不到任何offer」。一些金融機構向他拋出邀約，薪資是科研收入的數倍，他一度認真考慮轉去華爾街。
當時的鄧煜無法確定，自己是否還能做出比過去更好的數學。他曾到海邊思考兩天，最後決定「再堅持堅持」。「因為太愛數學，我覺得還沒到對自己絕望的地步，那我可以再試一試。」最終，南加州大學給了他數學系助理教授的教職。
鄧煜想要做出比過去更好的數學
轉機也發生在2018年。剛到南加州大學不久，鄧煜去芝加哥參加會議。會上，Zaher Hani的一位合作者正在報告波湍流研究。時任密歇根大學副教授的Hani知道鄧煜做過隨機性相關工作，便來詢問他對波動動理學方程推導問題的看法。當時的鄧煜已經數年沒有研究相關方向了，是這次交談讓他重新啟動對相關問題的思考。幾乎同時，岳海天（現為上海科技大學副教授）來到南加州大學做博士后，問他是否願意重返Gibbs測度問題。兩條研究線就這樣一同啟動。
鄧煜後來將它稱為自己科研生涯中「最重要的轉折」。「現在回頭看，我此後這些年的許多工作，都可以追溯到當時幾次看似平常的交流。」當時他無法預見，它們最終會進展到什麼程度。
「洞天石扉，訇然中開」
「當你注視波浪時，會發現它的運動在形式上看起來很簡單，但背後其實藏著非常複雜的東西。」鄧煜在個人介紹視頻中說，「問題是，這些簡單的運動，究竟怎樣從複雜的相互作用中產生？」
國際數學聯盟列出的三組獲獎成果是：在稀薄氣體的低密度極限下，從確定性的硬球動力學嚴格推導玻爾茲曼方程；從非線性色散系統中推導波動動理學方程；以及發展研究非線性薛定諤動力學的概率方法。這三組工作共同關心一個問題：複雜的非線性動力系統，怎樣產生可以描述的統計行為與長期規律。
其中最受關注的，是他與Zaher Hani、馬驍圍繞希爾伯特第六問題完成的工作。鄧煜用一間房間里的空氣解釋它：每個分子都按照牛頓力學運動、碰撞，如果只看一個粒子，過程並不複雜；但現實中的空氣分子數量極其龐大，人們不可能逐一追蹤，只能在概率意義上描述：某一時刻，有多少粒子出現在某個位置，並具有某種速度。玻爾茲曼方程描述的，正是這種單粒子分佈怎樣隨時間變化；密度、平均速度和溫度等宏觀量，則可以進一步從這個分佈中得到。「說到底，就是把從微觀粒子系統到宏觀流體的描述這條路走通了。」
1900年，希爾伯特提出第六問題，希望用嚴密的數學體係為物理學建立基礎。其中一條具體路線，正是從粒子的牛頓運動出發，推出氣體的統計規律，再推出宏觀流體方程。物理學家早已相信這條路徑成立，但「物理上非常合理」與「數學上已經證明」並不是同一件事。
鄧煜講解希爾伯特第六問題：粒子與波
合作者馬驍把大量粒子比作一個由無數人組成的國家：隨機抽出兩個人，他們互相認識的概率很小；足夠稀薄的氣體中，幾個粒子也應近似獨立。但粒子每碰撞一次，就會產生新的聯繫。一個粒子撞上第二個，第二個又撞上第三個，相關性便像一棵瘋狂分叉的大樹迅速生長。時間越長，這份「碰撞家譜」越難控制。
1975年，數學家Oscar Lanford第一次嚴格證明，稀薄硬球系統可以推出玻爾茲曼方程，但結論只能維持極短的時間。用馬驍的比喻說，他證明了人群剛開始移動的一小會兒，彼此還來不及建立複雜關係；再過一段時間，原有方法便無法控制。
鄧煜、Hani與馬驍首先突破的，正是這個長期未能跨越的短時間限制。更準確地說，只要相應的玻爾茲曼方程在給定時間內仍然保持良好的解，他們便能證明，硬球粒子系統在這整個時間區間內都趨近玻爾茲曼方程。在後續工作中，他們又將這條道路繼續向前延伸，從微觀硬球系統出發，經玻爾茲曼方程，嚴格推出宏觀流體方程。
這並不意味著希爾伯特關於「物理學公理化」的全部願景已經完成。鄧煜校正：「不能說我完全解決了這個問題。因為它是包含一些假設、包含一些特殊情況的。」更準確的說法，是他們在明確的氣體模型和尺度極限下，解決了通常所謂「狹義希爾伯特第六問題」的核心情形。
Zaher Hani講述希爾伯特第六問題及其在非線性波中的應用 / 圖源：南加州大學CAMS研討會
「難的不是突然想出一個巧妙的trick，而是要在一個極其複雜的組合展開中，找到那些能夠抵消掉的壞項，同時保留好的項。展開這種推演經常長達幾十頁，每一步都必須精準無誤。」鄧煜說，他們把長時間切成多段短時間層，把碰撞歷史畫成巨大的圖，再用切割演算法，將任何複雜圖拆回可以估計的基本結構。
這套框架最初並非為粒子而生。2018年底，Hani向正在研究隨機初值方程的鄧煜提出波湍流問題。粒子彼此碰撞，波包也會相互作用；玻爾茲曼方程描述粒子的統計規律，波動動理學方程則描述大量波之間的能量交換。鄧煜發現，自己此前發展的一套組合工具恰好可以用於波系統。
兩人先解決「次臨界」情形。後來Hani堅持挑戰更困難的臨界問題，鄧煜最初並不情願，真正嘗試后卻發現：「那真叫『洞天石扉，訇然中開』，我們竟然發現了一整套新的組合結構和工具！」2021年4月，他們完成了臨界尺度上的短時間推導。
波系統中還出現了一種玻爾茲曼問題里沒有的結構：一些圖單獨看會產生嚴重發散，彷彿證明必然失敗；但把它們與另外一些看起來毫不相關的圖組合起來，壞的部分卻會「奇迹般地抵消掉」，而且這種抵消對任意高階都成立。他們曾與多位物理學家討論，也沒有得到滿意解釋。鄧煜在PPT上寫下：「奇迹和魔法都是存在的（Miracles and magic are real）！」
鄧煜在PPT上寫下：「奇迹和魔法都是存在的（Miracles and magic are real）！」 / 圖源：@Yu Deng
2021年秋天，他在布朗大學訪問。有一天吃韓式炸雞時，他忽然想計算，如果把已經證明的短時間結果從一個時間段推進到下一個時間段，會發生什麼。由此，他逐漸看見了一套將長時間拆分為短時間、再逐層傳播統計規律的遞歸框架。
波系統的框架成熟后，他們反向想：既然人們一直用粒子類比波，為什麼不能把波的工具帶回粒子世界？2022年底，既熟悉這套框架、又接受過動理學訓練的馬驍加入。大的框架可以遷移，具體方法卻不能照搬。粒子系統沒有波系統中那種「奇迹般的抵消」，長時間碰撞產生的組合結構反而更加複雜。三人必須重新設計演算法。2024年8月，他們完成了全部證明。
「我大部分的數學研究都是和別人合作。」鄧煜說，「有些最初不成立的關鍵思路，就是在討論中逐漸完善的。」一個方向中的積累，在另一個問題里獲得新的意義；菲爾茲獎所表彰的，不只是已經接通的一條道路，也是一項仍在繼續生長的研究計劃。
做自己真正喜歡的事
鄧煜衡量一項工作，首先不是看它能否發表在頂級期刊，或是否足以帶來某種獎項。接受北京國際數學研究中心的訪談時，他表示自己對論文的要求比較高，相應數量也相對少一些：「一篇文章值得寫出來的標準可能是，它必須包含一個能夠真正說服自己的新東西。」
「新東西」未必意味著解決重大問題，也可能只是抓住一個關鍵點、突破一種已有方法，或將原本分離的領域結合起來。「只要這種創新是實質性的，而且我能夠確認它的重要性，就值得把文章寫出來。」
這種判斷並不意味著他天然擁有穩定的自信。MIT本科期間，鄧煜寫出一篇後來發表于《Analysis and PDE》的論文，他當時對自己的工作還比較滿意。後來他看到一則新聞，一名普林斯頓本科生在《數學年刊》發表了一篇只有6頁的論文，第一反應是：「自己的確比不上人家。」
但這種落差沒有阻止他繼續工作。「在任何階段，身邊出現比自己更厲害的人都是大概率事件。」他後來對學生說，不要因為別人走得更快便立刻否定自己，「反超別人本身也不應當成為目標」，更重要的是把注意力放回自己的成長，完成自己認可的事情。
鄧煜認為人更重要的是把注意力放回自己的成長
經歷博士后時期的輾轉后，他也逐漸形成了對焦慮的區分：「一種是對自己做的東西沒信心，一種只是暫時還沒得到大家認可。」前一種需要重新判斷問題，后一種則要求研究者在外部回應缺席時，仍保留自己的判斷。對鄧煜而言，更多時候是後者，「因為我做的是自己喜歡的東西，大多數時候還是相信它是好工作」。
數學之外，鄧煜喜歡的東西還有許多。如果沒有成為數學家，他想過自己或許會寫科幻小說——先設定一個虛構的前提，再對它作嚴密的邏輯推演。他目前有20多首詩作，題材相當廣泛。MIT畢業時，他寫下「何處更尋萌軟妹，幾回獨對緊流形（微分幾何中的專業概念）」；他是張靚穎近20年的歌迷，演唱會身未能至，于網路觀其盛況，於是寫下「天涯同夢此佳期。別去經年消息遲」；為西園寺世界（動畫《School Days》中陷入三角關係的少女）所作七律，則以「彼岸還應有明月，與君長照淚痕干」收尾。
鄧煜寫的詩 / 圖源：內社
他在某知識問答社區認真討論過人為什麼會喜歡一對虛構角色。在鄧煜看來，角色之間的互動會顯露單獨出現時無法看見的細微性格，因此「萌CP」也是在加深對每一個角色的理解，從而更加確信對ta們的喜愛。最後，他熟練地用數學作比：「CP之於角色正如映射之於集合，態射之於對象，類似性之於理論。」
在這樣奔逸的思維里，數學甚至會進入他的夢。他在個人介紹視頻中說，有時會夢見現實中從未研究過的問題，夢見自己正在為它們寫「完全正經的數學論文」；醒來后，那些論文一篇也不存在。思考早已不只發生在辦公室里，而成為生活的一部分。
鄧煜在個人介紹視頻里說，有時會夢見現實中從未研究過的問題 / 圖源：西蒙斯基金會
而面對來勢洶洶的AI技術革新，鄧煜也並不排斥AI進入自己的生活。他會讓AI證明一些自己基本確定為真的簡單結論，再親自檢查，對於有一定難度的引理，也會詢問AI是否有思路。
在某一次研究中，鄧煜連續幾天沒有解決一個主要命題的特殊情形，「GPT給出了一個非常簡單的證明，很快處理了那個特例。後來我們發現這種證明無法推廣，因此沒有把它寫入最終文章，但它至少提供了一個有價值的思路。這說明AI即使不能直接完成最終證明，也可能幫助研究者迅速探索局部路線。」
未來，他期待人可以負責總體框架、核心想法和問題的提出，AI協助完成一部分具體、技術性的推導，填充框架，並給出可供檢驗的方案。但他提醒對剛進入科研的學生而言，使用時仍要保持判斷力，「不能因為AI給出了一段看似完整的論證，就跳過獨立判斷和嚴格核驗這些必要的步驟」。
鄧煜鍾愛解謎，「人類已經探索了幾千年，宇宙中仍然存在大量謎團，在最基礎的層面上，我們對物理宇宙的理解仍然極為有限」。他持續鑽研的動力，源於「當一個設想完美運轉、眼前的問題終於被解開時，那種快樂」。
菲爾茲獎公布后，鄧煜表示自己很榮幸能與仰慕已久的數學家並列 / 圖源：新華社
菲爾茲獎公布后，他說自己很榮幸能與仰慕已久的數學家並列，但「不能為了拿獎去做研究」，「有些工作沒得獎，也未必不重要，還是要專註自己喜歡的方向，挑戰大問題」。面對隨之而來的期待，他的心境仍然簡單：「我只是一個數學家，我的工作就是盡量做好數學，做到這一點就足夠了。
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